Анатолий Фоменко - Как было на самом деле. Каждая история желает быть рассказанной

Рис. 3.42. Пример сложной минимальной поверхности, ограниченной достаточно сложным контуром.

Оказывается, минимальные поверхности широко распространены в природе. Например, как наиболее экономные поверхности, формирующие скелеты некоторых живых организмов. Весьма эффектный пример особенностей минимальных поверхностей дают скелеты радиолярий, микроскопических морских животных, имеющих самые разнообразные и экзотические формы. Радиолярии состоят из небольших комочков протоплазмы, заключенных в пенообразные формы, наподобие мыльных пузырей и пленок. Минимальные поверхности, образующиеся в радиоляриях, имеют много особых точек и ребер ветвления, на которых и концентрируется основная масса жидкости, входящей в состав организма.

Здесь жидкость тормозится и оседает, образуя «водяные отрезки». Концентрация жидкости вдоль ребер ветвления приводит к тому, что твердые фракции морской воды и соли оседают вдоль этих ребер и постепенно образуют твердый скелет животного. После его гибели мягкие ткани распадаются и остается твердый скелет. На рис. 3.43 показано несколько скелетов радиолярий.

Рис. 3.43. Скелеты радиолярий, наглядно показывающие структуру ребер и точек ветвления минимальных поверхностей.

Примерами минимальных поверхностей могут служить хорошо известные мембраны – это и барабанная перепонка в нашем ухе; это мембраны, служащие границами живых клеток и т. п. В 30-е и 40-е годы XX века был достигнут большой прогресс в изучении свойств двумерных минимальных поверхностей в трехмерном пространстве. Обычно «проблема Плато» формулируется так: верно ли, что на любой замкнутый контур можно натянуть минимальную поверхность? И если «да», то – сколько таких поверхностей, и каковы их топологические свойства? С математической точки зрения это весьма непростая проблема.

Замечательные результаты в этом направлении были получены в первой половине XX века Дугласом, Радо, Курантом и др. В частности, была доказана фундаментальная теорема, утверждающая, что для любого достаточно хорошего одномерного контура (то есть, замкнутой кривой) всегда существует минимальная поверхность в трехмерном пространстве, затягивающая этот контур, причем ее площадь не превышает площади любой другой поверхности, затягивающей этот же контур.

После решения проблемы Плато для контуров в трехмерном пространстве математики перешли к «многомерной проблеме Плато». То есть вместо одномерного контура теперь рассматриваются «многомерные контуры» – замкнутые многообразия (компактные поверхности без края).

Проблема звучит так: на любой ли «многомерный контур» можно натянуть минимальную поверхность (на единицу большей размерности) наименьшей возможной площади (объема)? Эта многомерная задача связана с многочисленными приложениями как в математике, так и в механике, математической физике. Многомерная проблема оказалась чрезвычайно трудной. Начиная с 60-х годов XX века в этой области произошел существенный скачок, связанный с такими именами, как: Федерер, Флеминг, Миранда, Райфенберг, Морри, Бомбьери, Джусти, Альмгрен, де Джиорджи, Саймонс, Лоусон и другие. Выяснилось, что в многомерном случае требуется сначала правильно сформулировать понятие границы и минимальной поверхности, затягивающей эту границу. Для этого был привлечен язык теории гомологий, что позволило доказать теорему существования глобально минимальной поверхности для заданного «гомологического контура» (замечательные результаты Райфенберга, Федерера и других).

Что сделал я? Мне удалось решить многомерную проблему Плато в постановке, весьма близкой к классической двумерной. А именно – в качестве «контура» рассматривается произвольное замкнутое компактное многообразие (без края), а в качестве «поверхностей» = «пленок», имеющих его своей «границей», рассматриваются компактные множества, являющиеся непрерывными образами гладких многообразий с заданным краем-границей (таких многообразий может быть много, бесконечное число).

Такие «пленки» сами могут не являться многообразиями, поскольку могут иметь сложные, «запутанные» особенности. Но эти множества «параметризованы многообразиями». Оказалось, что в классе таких компактов = «спектральных поверхностей» всегда существует глобально минимальная поверхность, затягивающая заданный «контур». На самом деле, этот мой результат является частным случаем куда более общей теории, построенной мною, в которой «спектральная проблема Плато» успешно решена в классах «параметризованных поверхностей» с заранее фиксированной границей, то есть затягивающих «контур» в смысле обобщенных (спектральных) гомологий или когомологий. Оказалось, что всегда существует многомерная минимальная «пленка», то есть имеющая наименьший объем в классе поверхностей с той же границей. Нетривиальным фактом оказалось, что такие минимальные поверхности могут состоять из «кусков» (стратов) различных размерностей, каждый из которых тоже минимален.