Анатолий Фоменко - Как было на самом деле. Каждая история желает быть рассказанной

Перечислю основные научные направления сегодняшней кафедры «Дифференциальной геометрии и приложений».

Рашевский много внимания уделял изучению геометрии и топологии групп Ли и однородных пространств. Отсюда выросло несколько научных направлений. Например, исследование подгрупп Ли, негомологичных нулю в объемлющей группе Ли, и вычисление полиномов Пуанкаре однородных пространств. А. Т. Фоменко получил описание вполне геодезических поверхностей, реализующих нетривиальные циклы гомологий в симметрических пространствах, в том числе и в группах Ли. В частности, были описаны вполне геодезические и гомологически нетривиальные сферы в симметрических пространствах.

Именно П. К. Рашевский направил когда-то мои интересы на исследование глобально минимальных поверхностей в римановых многообразиях. Отсюда выросла теория, созданная мною и моими учениками. В частности, А. Т. Фоменко доказал существование глобально минимальных поверхностей в каждом классе спектральных бордизмов риманова многообразия. А также – в каждом классе экстраординарных гомологий и когомологий многообразия (спектральные бордизмы – это частный случай). Эти идеи были развиты затем в работах профессоров Дао Чонг Тхи и Ле Хонг Ван.

Затем профессора А. О. Иванов и А. А. Тужилин получили крупные результаты в проблеме Штейнера – классификации одномерных минимальных сетей с закрепленными концами (т. е. ветвящиеся геодезические) или вообще без граничных точек) на двумерных поверхностях.

Рашевский часто беседовал со мной об общих свойствах групп и алгебр Ли. Его интересовали свойства, выполняющиеся одновременно для всех алгебр Ли из того или иного достаточно широкого класса.

Некоторые вопросы, интересовавшие Рашевского, получили впоследствии решение в рамках теории интегрируемых систем на алгебрах и группах Ли, созданной мною совместно с А. С. Мищенко. В частности, нами было сформулировано, а затем доказано – для большого класса редуктивных алгебр Ли, – следующее фундаментальное утверждение: на любой конечномерной алгебре Ли всегда есть полный коммутативный набор независимых полиномов, т. е. находящихся в инволюции относительно скобки Пуассона. Последний важный шаг для оставшихся алгебр Ли был сделан потом С. Т. Садэтовым. Итак, оказалось, что число таких замечательных полиномов равно половине суммы размерности алгебры и ее индекса. Индекс – это размерность аннулятора ковектора общего положения. Такие наборы полиномов порождают вполне интегрируемые системы дифференциальных уравнений в смысле Лиувилля. Повторю, что в случае редуктивных алгебр Ли, в частности, полупростых, эта важная теорема Мищенко-Фоменко-Садэтова была доказана именно Мищенко и Фоменко, а в оставшихся случаях – С. Т. Садэтовым.

Рашевский много внимания уделял геометрии в математической физике.

Недаром в его известной книге «Риманова геометрия и тензорный анализ» много говорится о теории относительности и спинорных представлениях ортогональной группы. Сегодня на кафедре продолжает активно действовать научное направление, возглавляемое профессорами В. Л. Голо и А. И. Шафаревичем, «Математическая физика, геометрия и топология». Отдельно выделились исследования по геометрии и топологии сложных белковых молекул: профессора В. Л. Голо, А. О. Иванов и А. А. Тужилин со своими учениками, совместно с биологическим факультетом МГУ (лаборатория профессора К. В. Шайтана, известного биолога). Еще одно направление: «Дифференциальные уравнения в геометрических вопросах небесной механики и математической физики» развивается доцентом Е. А. Кудрявцевой.

Рашевский интересовался гладкими функциями, особенности которых заполняют невырожденные подмногообразия. В 80-е годы А. Т. Фоменко создал «теорию Морса интегрируемых динамичевских систем», где возникают именно такие функции. В результате, А. Т. Фоменко, его коллегами и ученикам, в первую очередь, Х. Цишангом, А. В. Болсиновым и А. А. Ошемковым, была создана теория классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

Оказалось, что такие системы классифицируются, с точностью до лиувиллевой эквивалентности, а также с точностью до непрерывной и гладкой траекторной эквивалентности, некоторыми графами, вершинами которых служат так называемые «атомы», а на ребрах графа поставлены некоторые числовые метки. Такие инварианты были вычислены нами для многих конкретных механических и физических систем. Сравнивая эти инварианты, нам удалось, например, обнаружить неожиданные топологические траекторные изоморфизмы между некоторыми известными динамическими системами. Например, между системой Якоби и системой Эйлера (теорема Болсинова и Фоменко). А также удалось доказать топологическую и гладкую неэквивалентность некоторых известных систем.