Борис Кушнер - Учитель

Вот эпизод из моего прошлого. Однажды я должен был встретиться с коллегой на станции метро «Фрунзенская». Станция эта тихая, уютная… Приехав туда заранее, я устроился на удобной деревянной скамье, и стал рассматривать клавир до-минорного фортепианного Концерта Моцарта. В самом рисунке нотных линий всегда было что-то меня завораживающее. Уходя из дому, я забыл сменить пальто, в котором гулял с моим сеттером Крассом. «Собачье» пальто было заслуженное — в следах глины и многочисленных когтей и зубов окрестных недругов моего пса. Вероятно, эта странная комбинация клавира и рваного пальто насторожила милиционера. Некоторое время он нервно прохаживался поблизости и, наконец, тихо попросил показать документы. Я протянул ему удостоверение члена Московского Математического Общества. Заглянув в него, страж порядка понимающе протянул «а…», с сочувствием козырнул и отошёл.

Конечно, все эти представления о математике и математиках от реальности далеки… Математика — безудержно драматическое занятие, как и всякая наука, в которой человек соревнуется, почти как Иаков, с Б-гом, открывая Вечные Истины, божественность которых неоспорима, а также соревнуется с себе подобными в этой борьбе за права Первопроходца. Достаточно вообразить строителя, озарённо возводящего великолепное здание, которое вдруг рушится, как карточный домик, поскольку самый первый камень оказался дефектным. Такие трагедии не единожды случались с математиками: бессонные ночи, дни, занятые упорными размышлениями, так что всё остальное вокруг воспринимается как бы через пелену. Наконец, вот она — Теорема . И… горькое прозрение, руины… В отличие от обыкновенного строителя здесь есть ещё одна эмоционально убийственная возможность: всё в порядке с самим Зданием, да оказывается, что кто-то его уже построил… Открытие кем-то уже открыто, Теорема кем-то уже доказана… Какие горькие, порой безобразные приоритетные споры возникают подчас [4] Достаточно напомнить ожесточённую дискуссию конца 17-го века по поводу «изобретения» дифференциального и интегрального исчислений. Я имею ввиду приоритетный спор между двумя великими учёными — Ньютоном и Лейбницем. (См., например, David M. Burton, The History of Mathematics, An Introduction, Second Edition, Wm.C.Brown Publ., 1991, стр. 366 и далее). … Да, живая, очень живая наука — Математика. И очень живые и очень разные люди, математики. Не думаю, кстати, что они в целом «умнее» представителей иных профессий. Математические способности далеко не всегда даруются в качестве специального проявления общего интеллекта. Встречаются талантливые, более чем талантливые математики, которые вполне посредственны за пределами своей науки. С другой стороны, какие гармоничные Личности, какие целостные проявления Интеллекта можно встретить на дорогах этой Царицы Наук…

Поскольку мне предстоит рассказывать о Математике, невозможно совсем не касаться его науки. Я постараюсь удержаться от технических подробностей, формул и т. д., оставаясь скорее в рамках общефилософского контекста математических открытий и концепций. Читатель, которому эти части очерка покажутся трудными или скучными, может просто просматривать или даже опускать их.

Математику часто называют Царицей Наук. Действительно, именно она лежит в основании всего свода точных знаний, без которых немыслима наша цивилизация. К этому можно добавить невероятную красоту некоторых математических открытий, настоящих жемчужин нашего Духа. Вот, например, теорема Пифагора (приблизительно 580 г. — 500 г. до новой эры), пожалуй, самый известный математический факт, если оставить в стороне, что дважды два равно четырём. Недаром в многочисленных проектах посланий иным цивилизациям Пространства почти всегда фигурирует чертёж доказательства этой теоремы, поскольку представляется очевидной универсальность геометрической истины, общей любым проявлениям Интеллекта. Чертёж этот вошел даже и в грубоватую пословицу («пифагоровы штаны на все стороны равны»). В той же Пифагоровской школе были открыты иррациональные числа [5] Действительное число называется иррациональным, если оно не представимо, как отношение двух целых чисел. В нашем примере речь идёт об иррациональности квадратного корня из двух, первом и самом знаменитом примере этого рода. Иррациональное число записывается бесконечной (непременно бесконечной!) и не периодической десятичной дробью. . Значение этого события трудно переоценить, несомненно, речь идёт об одном из величайших достижений человеческого Духа. В геометрических терминах суть дела состоит в том, что сторона и диагональ квадрата не имеют общей меры. Невозможно найти такой эталон длины, который уложится целое число раз в обеих измеряемых длинах. Отсюда следует, что если установить стандарт длины, скажем, один см, и пытаться измерять в получившейся системе диагональ квадрата со стороной 1 см, то процесс измерения будет необходимо бесконечным . Греческие учёные шестого века до нашей эры оказались, таким образом, перед нелёгким выбором: либо признать существование новых иррациональных (сам термин говорит о некотором замирании сердца) чисел, либо допустить, что некоторые интервалы не имеют длины вообще (какой удар по геометрической интуиции!). Таким образом, в поле деятельности человека появились новые, идеальные объекты, соприкасающиеся с бесконечностью, и далеко выходящие за рамки непосредственного чувственного опыта [6] Впрочем, сама наша способность оперировать с абстрактными понятиями, в частности, с теми же положительными целыми числами, удивительна. Можно говорить о шести яблоках, шести стульях, шести улыбках. Можно заметить что-то общее во всех этих группах объектов, возможность расположить объекты из разных групп парами. Следующий шаг, формирование идеи числа «шесть», сущности освобождённой от любой конкретной ситуации, представляет собою подвиг абстракции, к сожалению, мало кем замечаемый. . С этим же открытием связана и знакомая почти по начальной школе процедура деления целых чисел с остатком, которую можно обобщить до процедуры нахождения наибольшего общего делителя двух положительных целых чисел. Эти древнейшие алгорифмы носят имя Евклида, греческого учёного, жившего в третьем веке до нашей эры. Его же традиция считает автором так называемых «Элементов» («Начала», 15 книг), свода греческой математики. Особенное значение имеет выполненное в «Элементах» аксиоматическое построение геометрии [7] Учебники геометрии Киселёва, памятные нескольким поколениям читателей, в сущности, представляют собою переработки Евклида. . По своему месту в нашей цивилизации этот труд можно сопоставить, пожалуй, только с Библией.

Читать дальше