БСЭ БСЭ: Большая Советская Энциклопедия (РА)

Если в формуле (1) n < m ( m > 0), то Р. ф. называется правильной; если же n ³ m , то R ( x ) может быть представлена в виде суммы многочлена M ( x ) степени n — m и правильной Р. ф. R 1( x ) = :

R ( x ) = М ( х ) + R 1( x ),

многочлены М ( х ) и P 1( x ) (степень последнего меньше m ) однозначно определяются из соотношения

Р ( х ) = M ( x ) Q ( x ) + P 1( x )

(формула деления многочлена с остатком).

Из определения Р. ф. следует, что функции, получаемые в результате конечного числа арифметических операций над Р. ф. и произвольными числами, снова являются Р. ф. В частности, Р. ф. от Р. ф. есть вновь Р. ф. Во всех точках, в которых она определена, Р. ф. дифференцируема, и её производная

также является Р. ф. Интеграл от Р. ф. сводится по предыдущему к сумме интеграла от многочлена и интеграла от правильной Р. ф. Интеграл от многочлена является многочленом и его вычисление не представляет труда. Для вычисления второго интеграла пользуются формулой разложения правильной Р. ф. R 1( x ) на простейшие дроби:

где x 1, ..., x s — различные корни многочлена Q ( x ) соответственно кратностей k 1, ..., k s ( k 1+ ... + k s = m ), a — постоянные коэффициенты. Разложение Р. ф. на простейшие дроби (2) определяется однозначно. Если коэффициенты многочленов P 1( x ) и Q ( x ) — действительные числа, то комплексные корни знаменателя Q ( x ) (в случае их существования) распадаются на пары сопряжённых, и соответствующие каждой такой паре простейшие дроби в разложении (2) могут быть объединены в вещественные простейшие дроби:

где трёхчлен x 2+ px + q имеет комплексно-сопряжённые корни (4 q > p 2).

Для определения коэффициентов , B j и D j можно воспользоваться неопределенных коэффициентов методом. Интегралы от простейших дробей

и

не являются Р. ф

,

а интегралы от простейших дробей

и

при k > 1 являются: первый — Р. ф., а второй — суммой Р. ф. и интеграла такого же вида, как при k = 1. Т. о., интеграл от любой Р. ф. (не являющейся многочленом) представляется в виде суммы Р. ф., арктангенсов и логарифмических функций. М. В. Остроградский дал алгебраический метод определения рациональной части интеграла от Р. ф., не требующий ни разложения Р. ф. на простейшие дроби, ни интегрирования (см. Остроградского метод ).

Р. ф. являются весьма важным классом элементарных функций. Рассматриваются также Р. ф. нескольких переменных; они получаются в результате конечного числа арифметических операций над их аргументами и произвольными числами. Так,

даёт пример Р. ф. двух переменных u и u .

В середине 20 в. Р. ф. нашли широкое применение в вопросах приближения функций (см. Приближение и интерполирование функций ).

Рациона'льное выраже'ние,алгебраическое выражение, не содержащее радикалов, например a 2+ b , х /( у — z 3). Если входящие в Р. в. буквы считать переменными, то Р. в. задаёт рациональную функцию от этих переменных.