Рафаэль Лаос-Бельтра - Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии.

LIM((1 + 1/ n )^ n, n, INF , 0)

Приближенное значение числа e

В 1618 году Непер уже упоминает это число в своих логарифмических таблицах как основание натуральных логарифмов log c ( x ) или, в сокращенном виде, ln( х ). Обозначение в виде буквы е ввел математик Леонард Эйлер в 1727 году. Среди любопытных фактов, связанных с этим числом, выделяются те, что относятся к экспоненциальной функции е х . Во-первых, производной функции f( х ) = е х является эта же самая функция, то есть f'( х ) = е х . Производная в точке х = 0 равна f'( х ) = 1. Во-вторых, интерес представляет интеграл этой функции: Наконец, сумма бесконечного числа членов ряда 1/0! + 1/1! + 1/2! + … + 1/ n ! равна числу е .

Обратите внимание, что знаменателями членов ряда являются факториалы последовательных чисел, которые определяются, к примеру, так: 4!= 4·3·2·1. Если бы ряд имел вид 1 + х + х 2/2! + х 3/3! + х 4/4! + … + х n / n ! то сумма этого ряда приближалась бы к экспоненциальной функции е х .

Подобные соотношения наблюдаются при изучении множества явлений. В частности, к ним относится экспоненциальный рост населения, проанализированный Мальтусом. Примером экспоненциального роста является рост колонии бактерий.

Пусть N — начальное число бактерий Escherichia coli в лабораторной чашке Петри, r — показатель роста численности бактерий. Тогда N t — численность бактерий в колонии в момент времени t — будет определяться следующим выражением:

N t = N 0e rt

Так как следующее поколение бактерий образуется каждые 30 минут, по прошествии некоторого времени в чашке Петри будет находиться несколько миллионов бактерий. Другой пример, представляющий практический интерес для математической биологии, — это распределение Пуассона, или закон распределения вероятностей, описывающий случайные события, имеющие малую вероятность. Допустим, мы подвергли чашку Петри с культурой бактерий Escherichia coli ультрафиолетовому излучению. Вероятность получения определенного числа мутантов х будет равна:

где λ — параметр закона распределения вероятностей. Число е также фигурирует в гиперболических функциях, широко применяющихся в биологии.

Представьте себе микробиолога, который хочет провести ряд экспериментов, требующих достаточно много бактерий Escherichia coli . Для этого он выращивает культуру в чашке Петри. Обозначим начальное число бактерий в чашке Петри через y 0 . Благодаря современным теориям математической биологии известно, что рост популяции описывается дифференциальным уравнением у' = r · у . Это означает, что скорость роста численности бактерий у' равна численности бактерий в момент времени t , умноженной на r , где r — мгновенный уровень роста.

Важно отметить, что рост численности бактерий будет описываться этим дифференциальным уравнением при условии, что питательные вещества в среде с бактериями не должны заканчиваться. Похожую ситуацию можно воспроизвести в микробиологической лаборатории с помощью хемостата, о чем мы уже рассказывали. Также рост бактерий не должен быть ограничен физическим пространством. Это означает, что культуре должно быть предоставлено, по меньшей мере в теории, неограниченное пространство для все новых и новых поколений. Если бы эти условия были возможны в природе, мы имели бы дело со сценарием экспоненциального роста, описанным Томасом Мальтусом в 1798 году.

Дифференциальное уравнение у' = r· у и его ограничения

Решив дифференциальное уравнение у' = r·у , получим следующее выражение:

y = y 0e rt

Это выражение означает, что число бактерий у в определенный момент времени t будет равно начальной численности бактерий у 0 , умноженной на экспоненту. Здесь экспонента — это число е , возведенное в степень, равную произведению r на время t .