Яков Перельман: Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета

30 * 3/ 4= (30+15)/2= 22 1/ 2(или 22,5)

Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 1 1/ 2, (потому что 10*1 1/ 2=15) Например:

18*15=18*1 1/ 2*10=270

45*15=450+225=675

Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 1 1 /4(потому что 100*1 1 /4 =125). Например:

26*125 = 26*100*1 1 /4= 2600 + 650 = 3250

47*125 = 47*100*1 1 /4= 4700+4700/4= 4700+1175 = 5875

Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/ 4(потому что 100* 3/ 4=75). Например:

18*75= 18*100* 3/ 4=1800* 3/ 4 =( 1800 + 900)/2=1350

Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6

18*15 = 90*3 = 270

26*125 = 130*25 = 3250

Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:

62*9=620-62=600—42=558

73*9=730-73=700—43=657

Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:

87*11=870+87=957

Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числ-последнюю цифру. Например:

68:5=136:10=13,6

237:5 =474:10=47,4

Чтобы устно разделить число на 1 1 /2делят удвоенное число на 3. Например:

36:1 1 /2=72:3=24

53:1 1 /2=106:3=35 1/ 3

Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например

240:15=480:30=48:3=16

462:15=924:30=30 24/ 30=30 4/ 5=30,8 (или 924:30 =308:10=30,8)

Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8*9=72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:

25 2; 2*3=6; 625

45 2; 4*5= 20; 2025

145 2; 14*15 = 210; 21025

Прием этот вытекает из формулы (10х+5) 2= 100х 2+100х+25=100х(х+1)+25

Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

8,5 2= 72,25

14,5 2=210,25

0,35 2= 0,1225 fи т. п.

Так как 0,5= ½, а 0,25 = ¼, то приемом § 25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ½:

(8½ ) 2=72 ¼

(14½) 2= 210 ¼ и т п.

При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (a +-b )2 = a 2+b 2+- 2ab.

Например: 41 2=40 2+1+2*40= 1601+80= 1681

69 2=70 2+1-2*70=4901-140=4761

36 2=(35+1) 2=1225+1+ 2*35=1296

Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.

(а+b) (а-b) = а2— b2

Пусть требуется выполнить устно умножение 52*48

Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50—2)

и применяем приведенную в заголовке формулу:

(50+2)*(50—2)=50 2-2 2= 2496

Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:

69*71=(70—1)*(70+1)=4899

33*27=(30+3)*(30—3)=891

53*57=(55—2)*(55+2)=3021

84*86=(85-1)*(85+1)=7224

Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:

7 ½*6½=(7 + ½ )*(7 — ½ ) =48 ¾

11 3/ 4*12 1/ 4= (12 - 1/ 4)*(12 + 1/ 4) =143 15/ 16

37*З =111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.

37*6=37*3*2=222

37*9=37*3*3=333

37*12=37*3*4=444

37*15=37*3*5 =555 и т. д,

7*11*13=1001

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77*13=1001

77*26=2002

77*39=3003 и т. д.

91*11=1001

91*22=2002

91*33=3003 и т. д.

143*7=1001

143*14=2002

143*21=3003 и т. д.

В нашей книжечке указаны только простейшие, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.