Александр Казанцев: Мёртвая зыбь

[16] Александр Казанцев, Никита Казанцев ФАНТАСТ Дилогия мнемонических романов Все события в романе не выдуманы и совпадения с реальными фактами и именами не случайны Примечание автора для особо интересующихся.

Ферма мог сразу доказать свое неравенство:

Х n+ Y n≠ Z n; при n >2 (1)

Но он начал с доказательства нынешней теоремы покойного любителя математики из Мариуполя Геннадия Ивановича Крылова. Тот эмпирически нашел ее, но не успел доказать:

“Сумма двух возможных целых чисел, возведенных в одну и ту же степень, равна целому числу в степени на единицу большей”.

Х n+ Y n= Z (n+1); (2)

Целое число >1 равно сумме двух целых чисел:

Z = A + B; при этом (3)

(2) можно представить как:

Z (n+1)= Z n. Z; (4)

Z (n+1)=(A + B). Z n= AZ n+ ВZ n; (5)

Пусть а n= A; b n= В; в целых числах: (6)

Z (n+1)=(a. Z) n+ (b. Z) n; (7)

Выражения в скобках — это и есть натуральные числа из (2) X и Y:

X = aZ; (8)

Y = bZ; (9)

Подставив (9) и (8) в (7) получим исходное выражение (3):

X n+ Y n= Z n +1;что и требовалось доказать.

Ферма проверил теорему и на разность степеней:

X n— Y n= Z n+1;?? (10)

Z n+1= Z n.Z; (11)

Z = a n— b n; (12)

Z n+1=(a Z) n— (bZ) n; (13)

aZ = X; bZ = Y; (14)

Z n+1= X n— Y n; (10)

Следовательно, теорема верна и для разности степеней и ее формулировка дополнена:

СУММА ИЛИ РАЗНОСТЬ ДВУХ ВОЗМОЖНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНИ n, РАВНА ЦЕЛОМУ ЧИСЛУ В СТЕПЕНИ n+1.

Ферма вывел более общую теорему НЕОБИНОМА:

“СУММА ДВУХ ВОЗМОЖНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНИ n, РАВНA ЦЕЛОМУ ЧИСЛУ В ЛЮБОЙ СТЕПЕНИ n+m, при n³2 и m>0.”

По аналогии с доказательством теоремы Крылова, он допустил, что вместо его НЕРАВЕСТВА (2) будет РАВЕНСТВО:

X n+m+ Y n+m= Z n+m= Z n. Z m; n³2 и m>0; (15)

Z m= A + B (16)

При уcловии, что A>0 и В>0, Z m>0 (17)

Слагаемые целые числа (16) могут равняться целым числам в степени n

A =a n; B = b n; (18)

Z n+m= (a Z) n+ (b Z) n(19)

Но, если X=aZ, Y=bZ, то (20)

X n+m+ Y n+m= Z n+m(15)

что и требовалось доказать.

Если теперь рассмотреть неравенство (1), как частный случай (1), когда m=0 и

X n+0+ Y n+0= Z n+0(21)

Из (16) и (18) следует

a n= 1 — b n; a = n√(1– b n) (22)

Поскольку b n> 1, то а оказывается МНИМОЙ ВЕЛИЧИНОЙ и РАВЕНСТВО (21) НЕПРАВОМЕРНО, является НЕРАВЕНСТВОМ (1), что и доказывает эту теорему.

Так, найдя “Необином”, Ферма привел доказательство своей теоремы, которое могло бы уместиться на полях ”Арифметики Диофанта”!